Al inicio hay 1000 bacterias
En t=1 se duplica esta cantidad, es decir:
$f(1)=1000(2)=2000$
En t=2 , se duplica la cantidad anterior (2000) tenemos entonces
$f(2)=1000(2)(2)=1000(2)^{2}=4000$
En t=3, duplicamos la cantidad anterior
$f(3)=1000(2)(2)(2)=1000(2)^{3}=8000$
En general para cualquier tiempo tenemos
$f(t)=1000(2)^{t}$
Observa que si dividimos la cantidad de bacterias en t=3 entre la cantidad en t=2
$\frac{8000}{4000}=\frac{4000}{2000}=2$
Que es la base de nuestro factor exponencial.
La base e
Se puede demostrar, aunque no se realizará aquí, que a medida que m se hace muy grande, el valor de la expresión $\left ( 1+\frac{1}{m} \right )^{m}$ se aproxima al número irracional 2.7182818… que se denota como e, uno de los números irracionales más importantes, para base de una función exponencial, denotado así en honor al matemático suizo Leonard Euler.
La función exponencial de base e, surge en problemas de crecimiento y decrecimiento de poblaciones. Supongamos que $N_{0}$ es el número de individuos presentes en una población en un tiempo t=0 y un número k real fijo, el modelo $N(t)=N_{0}e^{kt}$, nos indica el número de individuos que están presentes en una población en un tiempo $t$ . Si $k>0$, la función N crece y tendríamos un modelo de crecimiento poblacional, si $k<0$, tendremos un modelo de decrecimiento de población.
Por ejemplo, si una bacteria en un cultivo se incrementa a razón de $2$ cada hora y al inicio había 120 bacterias. El modelo que describe este problema es:
$N(t)=120e^{0.02t}$
¿Cuántas bacterias habrá al pasar dos horas?
Como ya conocemos el modelo y t=2 horas, sustituimos en la función y obtenemos el resultado $N(2)=120e^{0.02(2)}\approx 125\: bacterias$
¿Cómo sabemos qué modelo usar? Si $f(x)=P_{0}b^{t}$ donde $P_{0}$ es la población inicial y t es el tiempo o bien $N(t)=N_{0}e^{kt}$
Realiza la siguiente actividad, arrastra el modelo matemático que describe el problema.
Actividad H5P
Instrucción para el alumno: ¡Es el momento de revisar lo aprendido!