En esta sección se formalizará el procedimiento de la prueba de hipótesis, según se aplica a afirmaciones sobre la media de una población bajo la restricción de que, la desviación estándar poblacional, es un valor conocido.
La distribución muestral de medias muestrales $\bar{x}$ está distribuida alrededor de una media igual a $mu$ con un error estándar igual a , $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y se distribuye normalmente cuando las muestras se eligen aleatoriamente de una población normal o cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.
La prueba de hipótesis es un procedimiento paso a paso, bien organizado, que se aplica para tomar una decisión. Para este procedimiento utilizaremos el más común, conocido como enfoque clásico. Dicho proceso está organizado como un procedimiento de 5 pasos.
Procedimiento de 5 pasos
- Describir el parámetro de la población de interés.
- Establecer la hipótesis nula Ho y alternativa Ha
- Especificar los criterios de prueba.
a) Comprobar los supuestos.
b) Identificar la estadística de prueba a utilizar
c) Determinar el nivel de significancia,
d) Determinar las regiones críticas y el o los valores críticos.
4. Recolectar y presentar los hechos muestrales.
a) Recolectar la información muestral
b) Calcular el valor de la estadística de prueba
- Determinar los resultados.
a) Determinar si el valor de la estadística de prueba está o no en la región crítica.
b) Tomar una decisión sobre Ho
c) Escribir una conclusión sobre Ha
Ejemplo de Prueba de Hipótesis para la media poblacional
Se afirma que el peso promedio de las estudiantes del CCH es de 54.4 kg. Un profesor de Biología no cree en esta afirmación y trata de demostrar lo contrario. Para probar la afirmación, recolectó una muestra aleatoria del peso de 100 alumnas universitarias. Obtiene una media de la muestra de 53.75 kg.
¿Este hecho es suficiente para que el profesor de Biología rechace la afirmación?
Solución
Paso 1. Describir el parámetro de la población de interés: , el peso medio de todas las estudiantes de una universidad.
Paso 2. Establecer las hipótesis nula Ho y alternativa Ha
El peso medio es igual a 54.4 kg. o no es igual a 54.4 kg.
Paso 3. Especificar los criterios de prueba.
a) Comprobar los supuestos.
Los pesos de un grupo de mujeres jóvenes, en general, están aproximadamente distribuidos de una manera normal; en consecuencia, una muestra de n = 100 es suficientemente grande como para permitir la aplicación del Teorema de Límite Central.
b) Identificar la estadística de prueba a utilizar
La estadística de prueba es z y la fórmula
$z
=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$
c) Determinar el nivel de significancia: $\alpha =0.05$
d) Determinar las regiones críticas y el o los valores críticos.
La región crítica es tanto la cola izquierda como la cola derecha, porque los valores más pequeños y más grandes de la media de la muestra sugieren que la hipótesis nula es errónea. El nivel de significancia está dividido a la mitad, donde la medida de cada cola es de 0.025. Los valores críticos se encuentran en la tabla
Los elementos de esta tabla son los valores críticos de z para los cuales el área bajo la curva que representa está en la cola derecha. Los valores críticos para la cola izquierda se encuentran por simetría.
Paso 4. Recolectar y presentar los hechos muestrales.🔅 a)Recolectar la información muestral
La información muestral:
$\bar{x}=53.75\hspace{0.5cm}n=100$
b) Calcular el valor de la estadística de prueba
$z=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{53.75-54.4}{\frac{5.4}{\sqrt{100}}}=\frac{-0.65}{0.54}=-1.204=-1.20 $
Paso 5. Determinar los resultados.
a) Determinar si el valor de la estadística de prueba está o no en la región crítica.
El valor crítico de Z = -1.20, está en la región no crítica (mostrada con una línea verde en la imagen)
b) Tomar una decisión sobre
Ho
Decisión “No rechazar Ho” 👍
c) Escribir una conclusión sobre Ha
👀Conclusión: No hay suficientes hechos al nivel de significancia 0.05 que demuestren que las estudiantes tienen un peso medio diferente de los 54.4 Kg indicados. En otras palabras, no hay hechos estadísticos que sustenten los argumentos del profesor de Biología.
Un proyecto de estadística: “Las sillas voladoras”
Pixabay
Para complementar lo visto en está lección, te dejamos este vídeo donde se plantea un problema de prueba de hipótesis de cola izquierda y como plantear las hipótesis nula e hipótesis alternativa.
Para complementar lo visto en está lección, te dejamos este video donde se plantea un problema de prueba de hipótesis de cola izquierda y como plantear las hipótesis nula e hipótesis alternativa.
Planteamiento de un problema: “Las sillas voladoras”
En el anterior vídeo se vio como surgió un proyecto de prueba de hipótesis y su planteamiento inicial, de igual forma puedes plantear más situaciones que requieran un estudio más formal para llegar a una mejor conclusión. Mientras tanto en el siguiente vídeo se muestra la forma de aceptar o rechazar la hipótesis nula.
Resolución del problema: “Las sillas voladoras”
Para finalizar siempre hay dos posibilidades de concluir:
- Se acepta la hipótesis nula, la del parque de diversiones y por lo tanto se rechaza la hipótesis alternativa, la que hicieron el grupo de amigos.
- Se rechaza la hipótesis nula, la del parque de diversiones y por lo tanto se acepta la hipótesis alternativa, la que hicieron el grupo de amigos.
Aunque en ambos casos no se debe de asegurar que es cierto, ya que manejamos un cierto nivel de incertidumbre, el cual puede que en realidad no sea verdad. Y por ello es recomendable dar el nivel de significancia (alpha) en la afirmación para saber ese grado de incertidumbre o el nivel de confianza (1- $\alpha$). Recuerda que no somos adivinos, damos siempre un margen de error.
La prueba o verificación de hipótesis es una de las partes fundamentales del área de la estadística. En esta sección se muestra cómo realizar una prueba de hipótesis para la proporción poblacional p
Recordemos las proporciones muestrales que trabajamos en la unidad anterior por ejemplo:
Pixabay
De una muestra de 1200 adolescentes sólo 890 de ellos tienen un smartphone
$\hat{p}\ =\frac{890}{1200}=0.7$
Esto quiere decir que la proporción de adolescentes que tienen un smartphone es de 0.74
De una muestra de 500 atletas sólo 80 de ellos toman agua natural antes de una carrera.
$\hat{p} = \frac{80}{500}=0.16$
Esto quiere decir que la proporción de atletas que toman agua natural antes de una carrera es de 0.16
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Hipótesis: Más del 82% de los mexicanos utilizan TikTok como medio de entretenimiento
Pixabay
Entonces la hipótesis nos indica que la proporción poblacional de mexicanos que utilizan TikTok para entretenerse es mayor a 0.82
Hipótesis: Después del refuerzo de vacunación, los casos de COVID-19 son menores a 17% en la población mexicana
Ahora te invito a que revises el siguiente vídeo donde identificarás algunos elementos necesarios para realizar una prueba de hipótesis para la proporción:
Introducción a una prueba de hipótesis para la proporción.
Las tres formas de una prueba de hipótesis para la proporción poblacional son las siguientes:
Después de haber revisado el vídeo observa la siguiente imágen de una noticia con fecha del 07 de julio de 2020 por el periódico “EL ECONOMISTA”.
Supongamos que una aseguradora desea saber si esta afirmación realizada por el periódico es correcta. ¿Cuál es la prueba de hipótesis, necesaria para la investigación?
De acuerdo con el periódico la proporción de éxito de la población es de 0.20 entonces
$P_{0}=0.20$
Entonces se tiene lo siguiente:
La hipótesis nula indica que la proporción poblacional de empresas mexicanas que no tienen seguro son menores a 0.20
Esto quiere decir que la prueba de hipótesis para trabajar el problema es:
Las pruebas de hipótesis para la proporción poblacional se basan en la diferencia entre la proporción muestral y la proporción poblacional.
Los métodos utilizados para realizar la prueba de hipótesis son semejantes a los trabajados en la prueba de hipótesis para la media. A continuación te mostraremos cómo resolver problemas que involucran a la proporción.
Ejemplo: Prueba de Hipótesis para la proporción de la población
En la presente sección realizaremos tres ejemplos de cómo realizar una prueba de hipótesis para la proporción de una población.
Ejemplo 1:
Cierta compañía constructora de llantas presume que a lo mucho, el 8% de las llantas que producen, revientan antes de las 10,000 millas. Un nuevo gerente del departamento de control de calidad cuestiona la anterior aseveración y desea saber si es verdad, por lo cual realiza una muestra de 100 llantas donde sólo 5 revientan antes de las 10,000 millas. Realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significancia $\alpha$ de 0.05 para aceptar o rechazar lo que presume la compañía.
Te invitamos a ver el siguiente video para ver el procedimiento para resolver el anterior problema.
Ejemplo 1 Prueba de hipótesis para la proporción poblacional (Prueba de Cola derecha)
Tradicionalmente se cree que la mitad de la población que toma refresco de cola prefiere Pepsi y la otra mitad prefiere Coca. Sin embargo, con fines publicitarios, la propaganda de Coca Cola presume que la mayoría (más del 50%) de la población que consume refresco de cola prefiere Coca en lugar de Pepsi. Para apoyar esta afirmación se hizo una encuesta a 60 personas escogidas al azar que consumen refresco regularmente. De los 60 participantes 35 personas prefirieron Coca Cola. Realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significancia $\alpha$ de 0.05 para aceptar o rechazar lo que menciona la propaganda de Coca Cola.
Te invitamos a ver el siguiente video para ver el procedimiento para resolver el anterior problema.
Ejemplo 2 Prueba de hipótesis para la proporción poblacional (Prueba de dos Colas)
Ejemplo 3:
Tradicionalmente se cree que la mitad de la población que toma refresco de cola prefiere Pepsi y la otra mitad prefiere Coca. Sin embargo, con fines publicitarios, la propaganda de Coca Cola presume que la mayoría (más del 50%) de la población que consume refresco de cola prefiere Coca en lugar de Pepsi. Para apoyar esta afirmación se hizo una encuesta a 60 personas escogidas al azar que consumen refresco regularmente. De los 60 participantes 35 personas prefirieron Coca Cola. Realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significancia $\alpha$ de 0.05 para aceptar o rechazar lo que menciona la propaganda de Coca Cola.
Un fabricante de una medicina afirmó que su producto es eficaz al menos en un 80% eficaz para aliviar una alergia. Para poner a prueba dicha afirmación se realizó un experimento con 100 personas que padecían de la alergia, y la medicina alivió a 73. ¿Existe evidencia suficiente para contradecir al fabricante? Utiliza un nivel de significancia $\alpha$ de 0.05 para resolver el cuestionamiento.
Ejemplo 3 Prueba de hipótesis para la proporción poblacional (Prueba de Cola Izquierda)
¡Es el momento de revisar lo aprendido!