En este aprendizaje trabajaremos con las intersecciones del eje “$x$” (raíces)
Retomemos el problema del aprendizaje anterior
Tenemos $y=4x^2+8x+5$
Obtuvimos la gráfica
En donde se indicó las coordenadas del vértice, que el parámetro “$a >0$” nos indicaba que abrían las ramas de la parábola hacia arriba, el eje de simetría $x=-1$, la intercepción con el eje “$y$” que es en el punto (0,5), y por último que no había intercepción con el eje $x$.
Si, recuerdas de tus clases de Matemáticas 1, para obtener las intersecciones con el eje x debemos igualar “$y$” a cero
Por lo tanto, tenemos
$0=4x^2+8x+5$
Al resolver la ecuación, por medio de la fórmula general, recuerdas, la estudiaste en la anterior unidad.
$x= \frac{-8\pm\sqrt{{8^2 -4(4)(5)}}}{2(4)}$
$x= \frac{-8\pm\sqrt{64-80}}{8}$
$x= \frac{-8\pm\sqrt{-16}}{8}$
Tenemos la raíz cuadrada de un número negativo.
Por lo que pertenece al conjunto de números complejos o imaginarios.
Tenemos raíces complejas, por lo tanto, no existe intersección de la curva con el eje “$x$”.
Al observar la gráfica, vemos que no hay intersección con el eje “$x$” es decir que no hay raíces en el conjunto de los números reales.
Éstas no se pueden graficar en el sistema de coordenadas cartesiano que estamos utilizando, en este sistema sólo se grafican pares ordenados pertenecientes al conjunto de los números reales.
Ahora estudiemos otro caso tenemos la función
$y= -4 (x+\frac{3}{8})^2 +\frac{676}{64}$
Por lo que el vértice es $V(\frac{3}{8} , \frac{676}{64}) , V (0.375, 10.56)$
Como $a<0$ las ramas de la parábola abren hacia abajo
Intersecciones con eje “$y$”
Hacemos $x=0$
$y=-4(0)^2 +3(0) +10$
$y=10$
Por lo tanto, la intercepción es (0,10)
Intersecciones con el eje $x$ (recuerda las raíces de la función)
Hacemos $y=0$
$0=-4x^2 + 3x +10$
Resolvamos por fórmula general
A=-4
B= 3
C=10
$x= \frac{-3\pm\sqrt{3^2 -4(-4)(10)}}{2(-4)}$
$x=\frac{-3\pm\sqrt{9+160}}{-8}$
$x=\frac{-3x\pm\sqrt{169}}{-8}$
$x=\frac{-3\pm13}{-8}$
$x_1=\frac{-3+13}{-8} = \frac{-10}{8} = \frac{-5}{4}$
$x_2=\frac{-3-13}{-8} = \frac{-16}{-8} = 2$
Comprobemos mediante el bosquejo de la gráfica, que las intersecciones son (-5/4,0) y (2,0) con el eje “$x$” que son las raíces.
Siguiente ejemplo:
$y=4(x-\frac{1}{2})^2$
Como:
$a>0$
las ramas de la parábola abren hacia arriba
El vértice está en $v(\frac{1}{2},0), v(0.5,0)$
Las intersecciones con el eje $y$
$x=0$
$y=4(0)^2 -4(0)+1$
$y=1$
$(0,1)$
Intercepción con el eje $x$
$0=4(x-\frac{1}{2})^2$
$0=4(x-\frac{1}{2})^2$
$\frac{0}{4}= (x-\frac{1}{2})^2$
$0=(x-\frac{1}{2})^2$
$\sqrt{0} = \sqrt{(x-\frac{1}{2})^2}$
$0=x-\frac{1}{2}$
$x=\frac{1}{2}$
$(\frac{1}{2},0)$
es la intersección con el eje “$x$” o raíces.
Revisa las siguientes tarjetas para consolidar tus aprendizajes.
Como pudiste observar hay tres tipos de raíces en una función cuadrática
Primer caso. Dos raíces complejas, por lo tanto, no hay intercepción con el eje de las $x$.
Segundo caso. Dos raíces diferentes reales, dos intercepciones con el eje de las $x$.
Tercer caso. Dos raíces reales iguales solo hay una intercepción con el eje de las $x$.
Recuerda esto lo analizaste en la anterior unidad con el discriminante
Si
$b^2 -4ac <0$, no intercepta al eje x, las dos raíces pertenecen al conjunto de los números complejos
$b^2 -4ac >0$, intercepta al eje x en dos diferentes pares ordenados, tiene dos diferentes raíces pertenecen al conjunto de los números reales
$b^2 -4ac=0$, intercepta al eje x en un solo punto $x_1 =x_2$ y son raíces en el conjunto de los números reales
Realiza el siguiente ejercicio:
La función $y=5x^2 +3x$
Que expresada la función en la forma estándar es $y=5(x+\frac{3}{10})^2 -\frac{45}{100}$
Escribe su vértice
$v(-\frac{3}{10}, -\frac{45}{100})$
Como el parámetro “$a$” es mayor a cero las ramas de la parábola abren hacia arriba.Obtén las intersecciones con el eje “$y$” y el eje “$x$”
- Para la intersección con el eje “$y$”, tenemos $x=0$
$y=5(0)^2+3(0)$
Intercepta al eje “$y$” en (0,0)
- Para la intersección con el eje “$x$”, tenemos $Y=0$
$0=5x^2+3x$
resolviendo por factorización
$0=x(5x+3)$
$x_1=0$
$5x+3=0$
$x_2 = \frac{-3}{5}$
Por tanto, las raíces de la función son: $0 y -\frac{3}{5}$
(0, 0) y $(-\frac{3}{5}, 0)$
Realiza el bosquejo de la gráfica de la función tu cuaderno y verifica que el eje de simetría es $x=-3/10$
Actividad H5P
Instrucción para el alumno: ¡Es el momento de revisar lo aprendido!