Progresión Aritmética
En esta sección vas a trabajar el tema de Progresión Aritmética; aprenderás a calcular: el enésimo término de una progresión aritmética, la suma de los primeros “n” términos de esta progresión, los medios aritméticos y la media aritmética.
La Progresión Aritmética tiene los mismos elementos que cualquier progresión, pero tiene también ciertas características particulares que la identifican. Es una sucesión de números en los que cada uno de ellos es igual al anterior, pero sumado con una cantidad constante a la cual se le denomina diferencia de la progresión.
En la progresión aritmética podemos obtener cualquier elemento excepto el primero, sumándole un número de valor constante. En el siguiente vídeo “Introducción a las series aritméticas” encontrarás información que te ayudará a complementar este tema.
De acuerdo a la definición, partimos de un primer elemento al cual denominamos “a1” por lo que tenemos una progresión de la siguiente forma:
$a_1, a_2, a_3, …, a_{n-1}, a_n$
Si partimos del primer elemento “a1” $a_1$ y a partir de este, vamos sumándole la diferencia que llamamos “d” $d$. Esto es:
$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, a_1 + 4d, …$ tenemos
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_4 = a_1 + 3d$
$a_5 = a_1 + 4d$
Entonces podemos decir que $a_n = a_1 + (n-1)d$
Donde “$n$“ representa el enésimo elemento. No hay que confundir “$a_n$” con “$n$”, ya que la primera me da el valor del elemento y el segundo me dice qué elemento es, si el segundo o quinto elemento, según corresponda.
A continuación, te invitamos a ver el siguiente video referente a la suma de los primeros términos de una progresión Aritmética.
En algunas ocasiones es necesario obtener el valor de la suma de los elementos, esto es la “Serie”.
Como vimos anteriormente, la Serie es la suma de los elementos de la sucesión.Enseguida obtendremos una expresión para poder obtener cualquier elemento de las sumas parciales de la serie, para no tener que ir sumando cada uno de los elementos, lo cual nos facilitará poder obtener la suma.
Llamamos Sn a la suma de los primeros n elementos de la sucesión, por lo que la podemos expresar de la siguiente manera:
$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + … + (a_n – 2d) + (a_n – d) + a_n$
Invertimos el orden de los elementos de la sucesión, teniendo:
$S_n = a_n + (a_n – d) + (a_n – 2d) + … + (a_1 + 2d) + (a_1 + d) + a_1$
Sumamos ambas expresiones, por lo que nos queda:
$2S_n = n(a_1 + a_n)$
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
Si juntamos las ecuaciones para obtener $a_n$ y $S_n$ , obtenemos una nueva expresión para obtener $S_n$
$S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$
Antes de resolverla, te presentamos el siguiente video con algunos ejemplos que te pueden ser de utilidad.
Media Aritmética
Ahora vamos a estudiar un caso particular de los Medios Aritméticos, que es la Media Aritmética, también llamado promedio aritmético.
La media aritmética “A” entre dos números dado (extremos) “a” y “b” se define como $A = \frac{a + b}{2}$ Por lo que la progresión Aritmética sería:
a, A, b.
La media aritmética entre dos números es 6. Si el primer elemento es 21, calcular el otro elemento.
Datos
A=6
a=21
Sabemos que $A = \frac{a + b}{2}$
Despejando b, nos queda b = 2A – a
b= 2(6) – 21 = -9
Es momento de poner en práctica tus conocimientos adquiridos a lo largo de la lección, para esto: responde la siguiente actividad
Actividad H5P
Comprueba lo que aprendiste y participa en este desafío.