Suponga que f es una función cuya segunda derivada está definida en un intervalo abierto J.
a) Si para todo x en J se tiene ${f}”(x)> 0$, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba.
b) Si para todo x en J se tiene ${f}”(x)< 0$, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo
Pasemos a revisar un par de aplicaciones.
Ejemplo 1. Sea $f(x)= -(x-1)^{2}+3$. Ya vimos que ${f}”(x)< 0$ en todos los reales, consecuentemente lo es en cualquier intervalo abierto. Por tanto, según el criterio de concavidad, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Ejemplo 2. Sea $f(x)=x^{3}-x$ . Entonces, ${f}”(x)=6x$ . Con la intención de hallar los intervalos de concavidad, primero debemos encontrar dónde la segunda derivada se anula, o dónde no existe. Claramente ${f}”$ existe y es continua en cualquier intervalo abierto, de hecho, existe y es continua en todos los reales; también es evidente que sólo se anula en x=0. Basta entonces tomar puntos muestra en los intervalos $\left (- \infty, 0 \right )$ y en el intervalo $\left ( 0,\infty \right )$ para conocer el signo de la segunda derivada en cada uno de ellos. Vertemos la información en la siguiente tabla:
| Intervalo | $\left ( -\infty ,0 \right )$ | $\left ( 0,\infty \right )$ |
| Valor muestra | ${f}”(-1)=-6$ | ${f}”(1)=6$ |
| Signo de ${f}”$ | Negativo | Positivo |
| Concavidad | Cóncava hacia abajo | Cóncava hacia arriba |
Nota que en x=0 la gráfica de la función hace un cambio de concavidad. Los puntos donde ocurre esto reciben un nombre especial:
Se dice que un punto es de inflexión si en él hay un cambio de concavidad en la gráfica de la función.
Actividad H5P
Instrucción para el alumno: ¡Es el momento de revisar lo aprendido!