Derivada de una suma de un número finito de funciones

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Ahora vamos a conocer la derivada de funciones simples construidas por medio de operaciones aritméticas:

Primero veamos cual es la derivada.

La derivada de una suma algebraica de un número finito de funciones algebraicas es igual a la suma algebraica de las derivadas.

Sean y = f(x) y g(x) dos funciones derivables; se desea encontrar la derivada de la suma de las dos funciones, es decir, la derivada de f(x) + g(x):

$\frac{d}{dx}\left [ f(x) + g(x) \right ]= \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

Para la demostración se utiliza la definiciòn de derivada:

$f{}'(x)= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Se sustituye la función

${y}’= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-\left [ f(x)+g(x) \right ]}{h}$

Se ordenan los términos

$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h}$

Se separan los términos:

$= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

Para obtener la derivada

$={f}'(x)+{g}'(x)$

Ejemplos:

a) Si f(x)= 5x +3

La derivada es:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}5x+\frac{d}{dx}3$

$\frac{dy}{dx}=5\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}3$

$\frac{dy}{dx}=5(1)+0$

$\frac{dy}{dx}=5$$

b) Si f(x)= 2 -2x

La derivada es:

$ \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}2-\frac{d}{dx}2x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}2-2\frac{d}{dx}x$

$\frac{dy}{dx}=0 -2(1)$

$\frac{dy}{dx}=-2$

c) Si $f(x) =\sqrt{5}-\sqrt{3}x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{5}-\frac{d}{dx}\sqrt{3}x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\sqrt{5}-\sqrt{3}\frac{d}{dx}x$

$\frac{dy}{dx}=0-\sqrt{3}(1)$

$\frac{dy}{dx}= -\sqrt{3}$

Ahora verifica en tu cuaderno las siguientes derivadas:

$y=\sqrt[3]{7}x – 3$ la derivada es: ${y}’ = \sqrt[3]{7}$

Cálculo de la derivada de las funciones $f(x)=cx^{n}$

Actividad H5P

Instrucción para el alumno: ¡Es el momento de revisar lo aprendido!