Aunque la integral es un área, hay una diferencia con la noción de área de figuras geométricas, pues esta segunda siempre es positiva. Esto muestra que la integral retoma la noción de área, pero trabajada en el contexto de funciones.
En este sentido también podemos ver que dada una función se tiene que $\int_{a}^{a}{f(x)dx}=0$, piensalo como el área de un rectángulo con base cero, entonces para cualquier altura que tenga su área siempre será cero.
De modo que dada una función y un intervalo (el intervalo de integración) la integral nos da un valor, que puede ser positivo, negativo o cero.
Esto es similar que con la derivada, en la que para cada función y un punto en su dominio derivar asigna un valor, es decir, la derivada es una función. Así también la integral es una función se asigna un valor.
Una forma de definir a la integral como una función es dada una función, fijar el extremo inferior del intervalo de integración y variar el extremo superior, de este modo:
$\int_{a}^{x}{f(t)dt}$
para cada valor del extremo superior del intervalo de integración se obtiene un valor correspondiente. Esta función así definida, tiene como variable independiente a $x$, que es distinta de la variable de la función $f$ sobre la que se integra, cuya variable independiente se denota diferente, en este caso con $t$. Como tenemos una función diferente podemos llamarla diferente, por ejemplo:
$g(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$
La función $g$ está definida a partir de la integral de otra función.
En la siguiente aplicación se muestra la gráfica de una función $f$ en un intervalo, se fija el extremo inferior del intervalo de integración, y haciendo variar el punto rojo sobre el intervalo puedes observar los valores que se obtienen para la función $g$ definida a partir de la integral de $f $.
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Actividad H5P
Observa cómo para cada valor de $x$ el valor de la función $g$ es el área bajo la curva $f$ desde $2$ hasta $x$.
$g$ es una función, y como tal podemos analizarla. Para ello respondemos las siguientes preguntas: