El alcoholímetro es un dispositivo con el que se puede medir la cantidad de alcohol que existe en la sangre de una persona. Con casi 20 años de operación en la CDMX y millones de pruebas aplicadas, este fin de semana Rubén, quien condujo su automóvil al salir de una fiesta, fue detenido por un oficial de tránsito para realizarle la prueba de alcoholemia. Al dar un resultado positivo con 1.60 mg/litro de sangre,( el nivel máximo permitido para poder conducir es de 0.4 mg/litro), deberá pasar la noche en el “torito”. Rubén estima que en 4 horas podría volver a conducir, ya que sabe que cada hora se elimina un 28% de alcohol en la sangre. ¿Es correcta la estimación de Rubén?
Solución:
Observa que cada hora se reduce el 28%, lo que queda de alcohol la siguiente hora es el 72% , y si partimos del porcentaje de 1.6 mg/litro que tenía Rúben, la primera hora tendrá:
1.60(0.72)=1.152
En la segunda hora
$1.60(0.72)(0.72)=1.6080.72)^2 = 0.82944$ mg/litro
En la tercera hora el nivel de alcohol en la sangre será de
$1.60(0.72)(0.72)(0.72)=1.60(0.72)^3 = 0.5972$ mg/litro
Finalmente, a la cuarta hora
$1.60(0.72)(0.72)(0.72)(0.72)=1.60(0.72)^4 = 0.42998$ mg/litro
Podemos concluir que Rubén está equivocado en su estimación ya que en cuatro horas aún tiene un nivel de alcohol superior al límite permitido y no podrá manejar.
Observa que el modelo matemático que permite obtener el grado de alcohol en la sangre en un determinado tiempo x, medido en horas es el siguiente \\
$f(x)=1.60(0.72)^{x}$
Y el limite permitido es la función constante $f(x)=0.4$
Observa que:
- En el eje X se representa el tiempo( en horas), por lo tanto, sólo observaremos el comportamiento de ambas funciones en el primer cuadrante
- En t=0 , tenemos que el nivel de alcohol en la sangre es de 1.6 mg/litro
- En t=3, punto B, el nivel de alcohol ha disminuido a 0.6 mg/litro
- Aproximadamente en t=4.2 horas , ha llegado al nivel de alcohol permitido para poder conducir, la intersección de ambas gráficas, punto A, nos proporciona esta información
- La curva, en color rojo, es decreciente, es decir, a medida que el tiempo aumenta el nivel de alcohol en la sangre disminuye
La función $f(x)=1.60(0.72)^{x}$ es una función exponencial. Observa que la variable está en el exponente y la base es 0.72
Definimos a la función exponencial $f:R \rightarrow R$ definida por $f(x)=b^{x}$ donde $b < 0$ con base b y exponente x.
Actividad H5P
Instrucción para el alumno: ¡Es el momento de revisar lo aprendido!