Continuamos con el tema de Progresión Geométrica, aquí vas a aprender a calcular el enésimo término de una progresión geométrica y calcular la suma de los primeros \(n\) términos de esta progresión, así como calcular la suma infinita de los términos de una progresión geométrica cuando converge.
Una progresión geométrica es una sucesión de términos tales que cada término, a excepción del primero, se obtienen multiplicando al anterior por un número constante, al cual se denomina razón: $r$
Para calcular el enésimo término de una progresión geométrica, observa cómo se obtienen los primeros \[n\] términos:
$a_1$ Primer término
$a_2 = a_1 r$ Segundo término
$a_3 = a_1 r^2$ Tercer término
$a:4 = a_1 r^3$ Cuarto término
$a_5 = a_1 r^4$ Quinto término
Por lo tanto, el enésimo término de una progresión geométrica se calcula: $a_n = a_1 r^{n-1}$
Donde, $a_n$ es el enésimo término
$a_1$ es el primer término
$r$ es la razón
$n$ es el número de términos
Ejemplos
1. Determina el término 10 de la siguiente progresión geométrica
$a_1 = 3, a_2 = 15, a_3 = 75, …$
Donde: $r = 5$
\[n = 10\]
\[a_n = a_1 r^{n-1}\]
\[a_10 = 3(5)^{10-1}\]
\[a_10 = 3(5)^9\]
\[a_10 = 3(1,953,125)\]
\[a_10 = 5,859,375\]
2. Determina el término 12 de la siguiente progresión geométrica
$a_1 = 1, a_2 = -2, a_3 =4, …$
Donde: $r = -2$
\[n = 12\]
\[a_n = a_1 r^{n-1}\]
\[a_12 = 1(-2)^{12-1}\]
\[a_5 = 1(-2)^{11}\]
\[a_5 = -2,048\]
3. Determina el término 5 de la siguiente progresión geométrica
$a_1 = 81, a_2 = 54, a_3 = 36, … $
Por definición, $a_2 = a_1 r $
Es decir, $54 = 81r $
$r = \frac{54}{81} = \frac{2}{3} $
Donde: $n = 5 $
\[a_n = a_1 r^{n-1} \]
\[a_5 = 81\left(\frac{2}{3}\right) ^{5 – 1}\]
\[a_5 = 81\left( \frac{2}{3} \right)^4 \]
\[a_5 = 81 \left( \frac{16}{81} \right) \]
\[a_5 = 16 \]
Progresión geométrica infinita
La suma de una progresión geométrica converge si la razón es un número entre -1 y 1. La fórmula para calcular la suma infinita de una progresión geométricas es:
\[S = \frac{a_1}{1 – r} \], para \[-1 < r < 1 \]
Donde: $a_1 $ es el primer término
$r$ es la razón
Ejemplos:
- Calcula la suma infinita de una progresión geométrica, donde el primer término es 5 y $r = \frac{1}{3} $
\[S = \frac{5}{1 – \frac{1}{3}} \]
\[\frac{5}{\frac{2}{3}} \]
\[\frac{15}{2} \] - Calcula la suma infinita de la progresión geométrica a1=25 $a_1 = 25, a_2 = 10, a_3 = 4, … $
Por definición, $a_1 r = a_2 $
Es decir, $25r = 10 $
\[r = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \]
\[S = \frac{25}{1 – \frac{2}{5}} \]
\[S = \frac{25}{\frac{3}{5}} \]
\[S = \frac{125}{3} \]
Progresión geométrica infinita
Veamos un ejemplo más sobre progresión geométrica infinita.
3. Para dibujar un fractal, forma geométrica con patrón de autosimilitud y recursividad, dibujamos un triángulo equilátero de 10 cm. de lado, a partir de los puntos medios de cada lado se dibuja un nuevo triángulo equilátero como se muestra en la imagen. Nuevamente se dibuja un triángulo equilátero a partir de los puntos medios de los lados del triángulo anterior, siguiendo un proceso infinito. Calcula la suma infinita de los perímetros de los triángulos.
$a_1 = 30$ Perímetro del primer triángulo
$a_2 = 15$ Perímetro del segundo triángulo
Por definición, $a_1 r = a_2 $
Es decir, $30r = 15 $
\[r = \frac{1}{2} \]
Suma infinita:
\[S = \frac{30}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[S = \frac{30}{\frac{1}{2}} \]
\[S = 60 \]
La suma infinita de los perímetros de los triángulos es igual a 60 cm.
Actividad H5P
Comprueba lo que aprendiste y participa en este desafío.