Construyendo un papalote
Después de su viaje a Guerrero, Alejandro y César decidieron, a finales de enero, construir un papalote para aprovechar el viento que se presenta en la Ciudad de México en esa época del año. Además, pensaban posteriormente hacer un viaje al río Papaloapan, por lo que también allá podrían usarlo. Determinaron empezar con un diseño muy sencillo, y como tenían que comprar el material para el armazón y sólo lo venden en tiras de dos, tres o cuatro metros, hicieron un croquis a escala para ver dónde iría el armazón y cuánto material requeriría.
Imagen de B@UNAM
Como puedes observar, el armazón está compuesto por las cuatro orillas del cuadrilátero que forma la figura y por sus dos diagonales. De otro modo, no quedaría firme su papalote. Sobre el croquis hicieron cálculos aplicando lo que sabían de geometría (teorema de Pitágoras, principalmente); además, redondearon al entero más cercano los dos lados más grandes del cuadrilátero.
Al ir al local donde venden el material, se dieron cuenta de que con el dinero que tenían para el armazón sólo podían comprar una tira de madera de tres metros y otra de dos, por lo que no les alcanzaba ese material para el papalote con las medidas que habían considerado.
Para no estar tanteando cuáles serían las medidas correctas, Alejandro rápidamente escribió símbolos sobre el croquis que lo llevaron a plantear una ecuación, cuya solución les resolvió el problema. ¡Es bueno saber matemáticas!
A continuación te presentamos el croquis con los símbolos que escribió Alejandro sobre cada lado y cada diagonal. Obsérvalos con detenimiento y plantea una ecuación para representar la primera pregunta que él se hizo: ¿Cuál debe ser la medida de los lados en centímetros para que me alcance la tira de madera de tres metros ($300$ centímetros)?
Imagen de B@UNAM
Cuando estés listo, veamos lo que hizo Alejandro.
Una ecuación para el papalote
Al mirar los símbolos sobre el dibujo del papalote, la ecuación que corresponde a la pregunta de Alejandro es: $5x + 5x + 10x + 10x = 300 cm$. Pero si te fijas, la incógnita aparece varias veces, por lo que la ecuación no está escrita de la forma canónica ni en su equivalente. ¿Qué se te ocurre hacer para convertirla a alguna de estas dos formas? Quizá ya se te había ocurrido mientras mirabas el croquis y pensabas en la pregunta de Alejandro. Si es así, ¡felicitaciones!
Lo que hacemos para que la incógnita aparezca sólo una vez es muy simple: sumar algebraicamente el número de veces que tenemos x, es decir, sus coeficientes. Esto simplifica la ecuación de la siguiente manera: $30x = 300$, ¿estás de acuerdo?, y esta ecuación ya está en la forma \(ax = b\).
Para dejar sola a la x dividimos toda la ecuación entre \(30\), así: \(\frac{30x}{30} = \frac{300}{30}x = 10cm\)
Al tener el valor de \(x = 10\), ya podemos saber si les alcanzó el material que podían comprar, es decir, una tira de tres metros (\(300 cm\)) y otra de dos (\(200 cm\)). Veamos en el dibujo a escala las medidas resultantes.
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Comprobar si la solución es correcta nos lleva a sustituir el valor que encontramos en el lugar que ocupa la incógnita, hacer las operaciones indicadas y ver que se cumpla la igualdad. En este caso es fácil ver que \(5(10) + 5(10) + 10(10) + 10 (10) = 300\), o bien, en la ecuación simplificada tenemos: \(30(10) = 300\). Por lo tanto, la tira de madera de tres metros les alcanza perfectamente para el contorno del papalote.
Ahora necesitamos saber si les alcanza la tira de dos metros para las diagonales, ¿les sobra material? Como puedes ver, les sobraron \(10 cm\) de la segunda tira (ya que \(80 + 110 = 190 cm\)), material que utilizaron para enredar el cordel con que sostuvieron su papalote por los aires en un valle de la carretera que va al cerro del Ajusco.
Los disfraces de las ecuaciones
En el imaginario “mundo de las ecuaciones” de primer grado, algunas se quieren pasar de listas y utilizan “disfraces” para parecer horrendas. Ya te comentamos un secreto:
Todas, por complicadas que parezcan, se pueden convertir a la forma \(ax = b\) (o a la canónica \(ax − b = 0\), y éstas no nos asustan).
Para saber cómo quitarles el “disfraz”, te damos algunos consejos:
Trata siempre de convertirlas a un caso conocido; es decir, a uno que ya sepas cómo reducir a la forma \(ax = b\). Para ello, es útil:
Imagen de B@UNAM
¿Conoces la idea de balanza que se ha utilizado para ilustrar la igualdad entre expresiones algebraicas? Tenemos que mantener el equilibrio de la igualdad (balanza). Por ejemplo, no se vale tomar la goma y quitar lo que no queremos que esté. La forma de hacerlo es sumar o restar algo de ambos lados de la ecuación, o bien multiplicar o dividir (si eso nos conviene) por cualquier número diferente de cero todos los términos de los dos lados de la ecuación.
Recordemos la balanza
Imagen de B@UNAM
Con esto en mente, verás que resulta sencillo resolver ecuaciones, aunque de entrada parezcan muy complicadas. Veamos los siguientes ejemplos:
a) \(2x + 1 = 5\). ¿Cuál es la diferencia con el formato \(ax =b\)? Bueno, el \(1\) no debería estar del lado izquierdo. ¡Quitémoslo restando \(1\) a ambos lados de la ecuación! Queda:
\(2x + 1 = 5\)
\(2x + 1 −1 = 5 − 1\)
\(2x =4\)
¡Lo logramos! ¿Cuál es su solución?
b) \(3(x + 2) = 9\) ¿Qué hay de nuevo?, ¿qué significa?, ¿cómo lo puedes quitar?
Quitando disfraces
¿Estás de acuerdo en que lo nuevo es el paréntesis? Éste nos está indicando que \(3\) multiplica tanto a \(x\) como a \(2\). Por lo tanto, para quitar el paréntesis hay dos opciones: hacemos la multiplicación indicada, o bien eliminamos el \(3\) dividiendo toda la ecuación entre \(3\). Tú decides qué prefieres. Te presentamos cómo queda sin disfraz en ambas opciones:
¿Ya viste cómo obtenemos así ecuaciones muy simples? Ya sabes resolver cualquiera de ellas. Al hacerlo, obtenemos que \(x = 1\) ¿Estás de acuerdo?
\(\frac{5x – 3}{2} = 11\)
Veamos ahora el “disfraz” que se puso otra ecuación pretendiendo asustarnos:
¿Cuál es el elemento diferente? ¿Te estorba? ¿En qué operación está implicado? ¿Cómo lo quitas? Intenta resolverlo y luego presiona el siguiente botón:
Verifica tus respuestas
El elemento nuevo es el 2 que divide a la expresión 5x − 3. Para quitarlo, tenemos que multiplicar toda la ecuación por 2, y obtenemos:
\(2\frac{5x -3}{2} = 2 * 11\)
\(5x – 3 = 22\)
Ya sabes resolver esta ecuación. ¿Recuerdas cómo convertirla a la forma \(ax = b\), cuya solución es \(x = \frac{b}{a}\)? Al hacerlo, obtienes: \(5x = 25\), y solución es \(x = 5\)
Actividad H5P
¡Es el momento de revisar lo aprendido! A continuación resuelve la siguiente actividad.