Definición de Integral Definida.
Sea $f$ una función continua y positiva en el intervalo $\left [ a,b \right ]$ y $rho_{n}$ una partición cualquiera del intervalo definida por $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n}$ donde $x_{0}=a$ y $x_{n}=b$, entonces la integral definida de $a$ a $b$ a se denota por.
$$ \int_{a}^{b}f(x)\cdot dx$$
Y se define como:
$\int_{a}^{b}f(x)\cdot dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sum_{i=1}^{n}(x_{i},x_{i-1})f(c_{i}) \right ]$ donde $c_{i}\in \left [ x_{i-1},x_{i} \right ]$
Propiedades de linealidad de la integral definida.
Sean $f$ y $g$ dos funciones continuas en el intervalo $\left [ a,b \right ]$ y $k$ una constante, entonces se cumple que:
- $\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$
- $\int_{a}^{b}(f+g)(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$
Estas propiedades de linealidad son muy útiles para el cálculo de las integrales.
Otras propiedades básicas que debes conocer son:
Propiedad de aditividad de la integral.
Sea $f$ una función continua en el intervalo $\left [ a,b \right ]$ y $c$ un número comprendido entre $a$ y $b$, es decir, $a< c < b$, entonces se cumple que:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$$
Y generalizando:
Si $a< b$ y $f$ es una función continua en el intervalo $\left [ a,b \right ]$, se define:
$$\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$$
$$\int_{a}^{a}f(x)dx=0$$
Función Primitiva o Antiderivada.
En la unidad 3 de este trabajo se estudió el siguiente problema básico:
Dada una función $f$ encontrar su derivada $$\frac{\mathrm{d}(f )}{\mathrm{d} x}$$. En la presente unidad se analizará un problema igualmente importante:
Dada una función $f$, encontrar una función cuya derivada sea $f$.
De ello se desprende la siguiente definición:
Definición de Función Primitiva.
Se afirma que $F(x)$ es una función primitiva de una función $f(x)$, si se cumple que $F ‘(x)=f(x)$.
Esto significa que si se parte de una función $F(x)$ y se desea encontrar otra función $f(x)$ que represente la pendiente de la recta tangente en cada punto de $F(x)$ , el proceso que se debe ejecutar es la derivación de $F(x)$ , mediante las fórmulas o reglas de derivación mostradas en la unidad anterior de este trabajo:
$$\frac{\mathrm{d} (F(x))}{\mathrm{d} x}=f(x)$$
Puedes revisar un ejemplo de función derivada y función primitiva en el siguiente enlace:
El cálculo de la primitiva se facilita si aprendes las siguientes integrales inmediatas, se presenta en seguida la tabla:
En el siguiente video puedes revisar un Ejemplo de cómo resolver una integral con el uso de la tabla:
Observa los siguientes ejemplos en los que haremos uso tanto de las propiedades de linealidad como de la tabla de integrales inmediatas:
Puedes revisar otros ejemplos de integrales inmediatas en el siguiente enlace:
Actividad H5P
Comprueba lo que aprendiste y participa en este desafío.
Ahora responde el cuestionario que te permitirá revisar temas importantes sobre las funciones.