Integral definida
Definición de Integral Definida.
Sea $f$ una función continua y positiva en el intervalo $\[\left [ a,b \right ]\]$ y $[\rho_{n}\]$ una partición cualquiera del intervalo definida por $\[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},…,x_{n}\]$ donde $\[x_{0}=a\]$ y $\[x_{n}=b\]$ , entonces la integral definida de $\[a\]$ a $\[b\]$ a se denota por.
$ \[\int_{a}^{b}f(x)\cdot dx\]$
Y se define como:
$\[\int_{a}^{b}f(x)\cdot dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sum_{i=1}^{n}(x_{i},x_{i-1})f(c_{i}) \right ]\] donde \[c_{i}\in \left [ x_{i-1},x_{i} \right ]\]$
Propiedades de linealidad de la integral definida.
Sean $\[f\]$ y $\[g\]$ dos funciones continuas en el intervalo $\[\left [ a,b \right ]\]$ y $\[k\]$ una constante, entonces se cumple que:
- $\[\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\]$
- $\[\int_{a}^{b}(f+g)(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\]$
Estas propiedades de linealidad son muy útiles para el cálculo de las integrales.
Otras propiedades básicas que debes conocer son:
Propiedad de aditividad de la integral.
Sea $\[f\]$ una función continua en el intervalo $\[\left [ a,b \right ]\]$ y $\[c\]$ un número comprendido entre $\[a\]$ y $\[b\]$ , es decir, $\[a< c < b\]$ , entonces se cumple que:
$\[\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\]$
Y generalizando:
Si $\[a< b\]$ y $\[f\]$ es una función continua en el intervalo $\[\left [ a,b \right ]\$] , se define:
$\[\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\]$
$\[\int_{a}^{a}f(x)dx=0\]$
Función Primitiva o Antiderivada.
En la unidad 3 de este trabajo se estudió el siguiente problema básico:
Dada una función $\[f\]$ encontrar su derivada $\[\frac{\mathrm{d}(f )}{\mathrm{d} x}\]$ . En la presente unidad se analizará un problema igualmente importante:
Dada una función $\[f\]$ , encontrar una función cuya derivada sea $\[f\]$ .
De ello se desprende la siguiente definición:
Definición de Función Primitiva.
Se afirma que $\[F(x)\]$ es una función primitiva de una función $\[f(x)\]$ , si se cumple que $\[F ‘(x)=f(x)\]$ .
Esto significa que si se parte de una función $\[F(x)\]$ y se desea encontrar otra función $\[f(x)\]$ que represente la pendiente de la recta tangente en cada punto de $\[F(x)\]$ , el proceso que se debe ejecutar es la derivación de $\[F(x)\]$ , mediante las fórmulas o reglas de derivación mostradas en la unidad anterior de este trabajo:
$\[\frac{\mathrm{d} (F(x))}{\mathrm{d} x}=f(x)\]$
Puedes revisar un ejemplo de función derivada y función primitiva en el siguiente enlace:
El cálculo de la primitiva se facilita si aprendes las siguientes integrales inmediatas, se presenta en seguida la tabla:
En el siguiente video puedes revisar un Ejemplo de cómo resolver una integral con el uso de la tabla:
Observa los siguientes ejemplos en los que haremos uso tanto de las propiedades de linealidad como de la tabla de integrales inmediatas:
Puedes revisar otros ejemplos de integrales inmediatas en el siguiente enlace:
Actividad H5P
Comprueba lo que aprendiste y participa en este desafío.
Ahora responde el cuestionario que te permitirá revisar temas importantes sobre las funciones.